EXTRAÇÃO DAS RAÍZES

(QUADRADA E CÚBICA)

 

 

 

 

 

 

Methodo simples de extrahir a raiz quadrada dos quadrados perfeitos

381. Vamos expôr agora um methodo muito simples e facil de extrahir a raiz quadrada, mas que serve sómente para os quadrados perfeitos. Este methodo consiste em decompôr o numero dado em seus factores primos, e depois multiplicar entre si a metade desses factores.

 Problema. Qual é a raiz quadrada de 576?

Solução. Decompondo o numero 576 em seus factores primos, temos os factores 2,2,2,2,2,2,3,3. Escrevendo estes factores em pares, tendo cada par dois factores iguaes, como vemos no processo ao lado, e multiplicando entre si um factor de cada par, temos 2 x 2 x 2 x 3 = 24, que é a raiz quadrada de 576.

Demonstração.

Todo o quadrado perfeito é o producto de dois numeros iguaes, isto é, da raiz quadrada multiplicada por si mesma. Se este dois numeros iguaes não são primos, então são compostos de dois ou mais factores primos, e os mesmos factores que tiver um numero, terá necessariamente tambem o outro, porque são numeros iguaes; por isso todo o quadrado perfeito deve ter um certo numero de pares de factores, e em cada par, deve haver dois factores iguaes.

Decompondo o numero 576 em seus factores primos, achamos 8 factores; ora, como o numero 576 é o produdto de dois numeros iguaes, segue-se que metade dos factores fórma um desses numeros iguaes, e a outra metade fórma o outro.

Extracção da raiz cubica

382. Extrahir a raiz cubica de um numero é decompol-o em tres factores iguaes, ou achar um numero, que multiplicado pelo seu quadrado, produza o numero dado. A raiz cubica de 125 é 5, porque 5 tomado tres vezes como factor, produz aquelle numero; pois 5 x 5 x 5 = 125

Para se poder extrahir a raiz cubica de um numero é conveniente saber de cór o cubo dos dez primeiros numeros.

Numeros  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cubos 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

Para comprehendermos o processo da extracção da raiz cubica, é necessario conhecermos o seguinte theorema:

O cubo de um numero composto de unidades e dezenas é igual ao cubo das dezenas, mais tres vezes o quadrado das dezenas multiplicado pelas unidade, mais tres vezes as dezenas multiplicadas pelo quadrado das unidades, mais o cubo das unidades.

 Illustração. O numero 24 é composto de 2 dezenas e 4 unidades ou 20 + 4; se quizermos agora formar o seu cubo pela direcção deste theorema, teremos de sommar as seguintes parcellas componentes:

Vemos nesta illustração que o cubo de 24, formado pela direcção deste theorema, é igual ao cubo formado pela multiplicação continuada que está á margem.

383. Por meio de algumas figuras geometricas podemos tornar até intuitiva a verdade deste theorema.

Exposição. As diversas figuras ou volumes que estão á margem, representam as partes componentes de um cubo perfeito que tem 24 pollegadas de comprimento, 24 de largura, e 24 de altura, e que mede 24 x 24 x 24 = 13824 pollegadas cubicas.

Analysando as dimensões de cada uma desta peças, notamos o seguinte resultado:

A figura ou volume A, medindo 20 pollegadas de comprimento, 20 de largura, e 20 de altura, tem 20 x 20 x 20 = 8000 pollegadas cubicas, e representa o cubo das dezenas.

As figuras B, B e B tendo 2o pollegadas de comprimento, 20 de largura e 4 de altura, contem cada uma 20 x 20 x 4 ou 20 ao quadrado x 4 = 160 pollegadas cubicas; e como são tres volumes conteem 3 (20 ao quadrado x 4) = 4800 pollegadas cubicas, e representam tres vezes o producto do quadrado das dezenas multiplicado pelas unidades.

As figuras O, O e O, como medem 20 pollegadas de comprimento, 4 de largura, e 4 de altura, contém cada uma 20 x 4 x 4 ou 20 x 4 ao quadrado = 320 pollegadas cubicas; e como são 3 volumes, conteem 3 (20 x 4 ao quadrado) = 960 pollegadas cubicas, e representam tres vezes o producto das dezenas multiplicadas pelo quadrado das unidades.

Finalmente a figura C, como mede 4 pollegadas de comprimento, 4 de largura, e 4 de altura, contém 4 x 4 x 4 = 64 pollegadas cubicas, e representa o cubo das unidades.

 

Todas estas peças, reunidas de um modo adequado em um só volume, constituem um cubo perfeito de 13824 pollegadas cubicas, como se vê na figura P.

 

 

384. Na extracção da raiz cubica dividese o numero dado em classes de tres algarismos, e quantas classes tiver o numero, tantos algarismos terá a raiz. A ultima classe da esquerda póde ter um, dois ou tres algarismos, mas é sempre contada como uma classe.

Problema. Qual a raiz cubica de 13824?

Solução. Dividindo o numero dado em classes de tres algarismos, acharemos duas classes: e por isso, a raiz constará de dois algarismos, isto é, terá dezenas e unidades.

Na primeira classe deve estar contido o cubo das dezenas: ora o maior cubo perfeito contido em 13 milhares é 8 milhares, e a raiz cubica de 8 é 2; portanto 2 será o primeiro algarismo da raiz para representar as dezenas. Subtrahindo da primeira classe o cubo perfeito das dezenas, que é 8, restam 5 milhares, os quaes juntos com a classe seguinte, formam 5824 unidades, total de 3 vezes o quadrado das dezenas multiplicado pelas unidades, mais 3 vezes as dezenas multiplicadas pelo quadrado das unidades, e mais o cubo das unidades.

O numero das dezenas já nós sabemos que é 2 ou 20 unidades; quadrando as dezenas, e multiplicando-as depois por 3, teremos 20 x 20 x 3 = 1200.

Dividindo agora 5824 por 1200, obtemos o numero de unidades, que é 4; portanto 4 é o segundo algarismo da raiz, isto é, o que representa as unidades. O numero 1200 chama-se divisor auxiliar, porque auxilia a achar o algarismo seguinte da raiz.

Multiplicando as dezenas pelas unidades e depois por 3, temos 20 x 4 x 3 = 240. Quadrando as unidades, temos 4 x 4 = 16. Sommando agora estas duas parcellas com o divisor auxiliar, temos o total de 1456, que é o divisor completo.

Se multiplicarmos agora esta somma pelo numero das unidades, que é 4, temos 5824, valor igual ao que sommariam estas tres parcellas, se cada uma separadamente fosse multiplicada por 4.

A primeira parcella multiplicada por 4, fica igual a tres vezes o quadrado das dezenas multiplicado pelas unidades.

A segunda parcella, multiplicada por 4, fica igual a tres vezes as dezenas multiplicadas pelo quadrado das unidades.

A terceira parcella, multiplicada por 4, fica igual ao cubo das unidades. Subtrahindo, pois, o producto 5824 do dividendo 5824, nada restará.

Logo o numero 13824 é um cubo perfeito, e a sua raiz cubica é 24.

385. O methodo pratico de extrahir a raiz cubica é o seguinte:

Problema. Qual é a raiz cubica de 413493625?

Methodo pratico da extracção. Divide-se o numero dado em classes de 3 algarismos, e logo se reconhece que a raiz cubica tem 3 algarismos, porque o numero do problema tem tres classes.

Começa-se sempre a extracção da raiz pela primeira classe da esquerda.

O maior cubo perfeito contido em 413 é 343, cuja raiz cubica é 7. Escreve-se, pois, o numero 7 como o primeiro algarismo da raiz para occupar a ordem das centenas. Subtrahe-se o cubo 343 de 413, e o resto 7o, com a classe seguinte, fórma o novo dividendo 70493.

Quadrando a raiz já achada, que é 7, e multiplicando o quadrado por 300; temos 7 x 7 x 300 = 14700; este numero, como nos vai indicar o segundo algarismo da raiz, chama-se divisor auxiliar.

Para se achar o segundo algarismo da raiz, divide-se o dividendo 70493 pelo divisor auxiliar 14700, e o quociente será o segundo algarismo da raiz.

Dividindo o dividendo pelo divisor, o quociente é 4; portanto, 4 será o segundo algarismo da raiz, e alli occupará a ordem das dezenas. Multiplica-se em seguida o primeiro algarismo da raiz pelo segundo e depois por 30, e tem-se 7 x 4 x 30 = 840; quadrando-se em seguida o segundo algarismo da raiz, tem-se 4 x 4 = 16. Sommam-se estas duas quantidades com o divisor auxiliar, e tem-se 15556, que é o divisor completo. Multiplica-se este divisor pelo segundo algarismo da raiz, que é 4, e temos o producto 62224.

Subtrahe-se este producto do dividendo, e o resto 8269, junto com a classe seguinte, formará o novo dividendo 8269625.

Tomam-se os dois algarismos da raiz como um só numero, quadra-se esse numero e depois multiplica-se por 300, e tem-se 74 x 74 x 300 = 1642800.

Para acharmos o seguinte algarismo da raiz, dividiremos o dividendo pelo divisor, e o quociente será o terceiro algarismo da raiz. O quociente é 5, e por isso 5 occupará na raiz a ordem das unidades, prosegue-se nesta operação como na de cima, tomando 74 pelo primeiro numero da raiz, e 5 pelo segundo. Se houvesse ainda outra classe para dividir, tomar-se-ia 745 como o primeiro numero, e o algarismo que se tinha de achar, como o segundo numero.

Regra. I. Para se achar a raiz cubica de um numero, divide-se o numero dado em classe de tres algarismos.

II . Acha-se o maior cubo perfeito contido na primeira classe da esquerda, e escreve-se a sua raiz ao lado direito do numero, em fórma de divisor. Subtrahe-se o cubo perfeito da primeira classe, e o resto junto com a segunda classe formará o novo dividendo.

III. Quadra-se a raiz achada e multiplica-se por 300; o producto será o primeiro divisor auxiliar. Divide-se o dividendo pelo divisor auxiliar, e o quociente será o segundo algarismo da raiz. Multiplica-se este ultimo algarismo achado pelo primeiro e depois por 30; quadra-se ainda este ultimo algarismo da raiz, e addicionando-se estas duas quantidades com o divisor auxiliar, a somma será o divisor completo.

IV. Multiplica-se o divisor completo pelo ultimo algarismo da raiz, e o producto, subtrahe-se do novo dividendo, e o resto, junto com a classe seguinte, formará um novo dividendo; e assim se procede até todas as classes serem divididas.

Notas. 1a. Se o divisor auxiliar fôr maior do que o seu respectivo dividendo, escreve-se uma cifra na raiz, e desce-se outra classe para o quociente.

2a. Quando o cubo é imperfeito, ficará sempre um resto na divisão da ultima classe, mas a operação pôde ser continuada, pondo-se uma virgula decimal no fim da raiz, para mostrar que os algarismos que seguem são decimaes, e accrescentandose classes de cifras ao dividendo.

3a. Extrahindo-se a raiz cubica de uma fracção decimal, marcam-se as classes da esquerda para a direita, e se a ultima classe da direita não estiver completa, completa-se com cifras.

4a. Para se extrahir a raiz cubica de uma fracção ordinaria, reduz-se a fracção á sua expressão mais simples, e se ambos os seus termos forem cubos perfeitos, extrahe-se a raiz de cada um, e se um ou ambos os termos forem cubos imperfeitos, reduz-se a fracção ordinaria a uma fracção decima, e extrahe-se a raiz.

Methodo simples de extrahir a raiz cubica dos cubos perfeitos

386. O methodo que agora vamos expôr só poderá ser usado na extracção da raiz cubica dos cubos perfeitos, mas tem a grande vantagem de ser muito simples e facil, como podemos ver no seguinte problema:

Problema. Extrahir a raiz cubica de 13824, por meio da decomposição dos seus factores primos.

Solução. Decompondo-se o numero 13824 em seus factores primos, obtem-se doze factores.

Escrevendo-se estes factores em grupos, havendo tres factores iguaes em cada grupo, e depois multiplicando-se entre si um factor de cada grupo, obtem-se o seguinte resultado:

2, 2, 2, 3

2, 2, 2, 3

2 x 2 x 2 x 3 = 24

A raiz cubica de 13824 é 24.

A demonstração e mais explicações deste methodo já foram expostas na extracção da raiz quadrada número 381.

1 3 8 2 4 2
  6 9 1 2 2
  3 4 5 6 2
  1 7 2 8 2
    8 6 4 2
    4 3 2 2
    2 1 6 2
    1 0 8 2
      5 4 2
      2 7 3
        9 3
        3 3
        1  

Regra. Para se extrahir a raiz cubica de um cubo perfeito, decompõe-se esse numero em seus factores primos; dispõem-se estes factores em grupos, havendo em cada grupo tres factores iguaes, e o producto continuado de um factor de cada grupo será a raiz cubica.


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