EXTRAÇÃO DAS RAÍZES

(QUADRADA E CÚBICA)

 

 

 

 

 

 

Exposição geometrica da raiz quadrada

379. O primeiro diagramma que está ao lado, representa um quadrado perfeito, medindo 24 metros de cada lado, tendo, portanto, uma atea ou superficie de 24 X 24 = 576 metros quadrados.

Figuremos agora que nos dão esta area de 576 metros quadrados e requerem de nós o comprimento de um dos lados deste quadrado. A resposta será facil; extrahiremos a raiz quadrada de 576, e logo veremos que a raiz quadrada ou um dos lados deste quadrado é 24 metros.

Exposição geometrica. A composição de um quadrado e a extracção da sua raiz quadrada podem tambem ser demonstradas geometricamente. Assim o segundo diagramma representa um quadrado igual ao primeiro, mas decomposto ou dividio nas quatro superficies que o constituem (numero 373.

A superficie A mede 20 X 20 = 400 metros quadrados e representa o quadrado das

dezenas. As superficies B e B que mede cada uma 20 X 4 = 80 metros quadrados, e, como são duas, sommam 2(20 X 4) = 160 metros quadrados, representam duas vezes o producto das dezenas multiplicadas pelas unidades. E a superficie menor 4 ao quadrado mede 4 X 4 = 16, e representa o quadrado das unidades. Subtrahindo do quadrado inteiro o quadrado das unidades, que é a area A, restam as seguintes superficies.
  B             20     B           20

4

O modo geometrico de achar a area destas tres superficies postas em linha, é multiplicar o seu comprimento pela sua largura. Ora, sendo o seu comprimento 20 + 20 + 4 = 44, e a largura 4, a sua superficie é 44 X 4 =  176 metros quadrados, que é quanto o quadrado inteiro ou completo excede ao quadrado das dezenas, isto é, quanto 576 excede a 400.

Se agora observarmos o modo por que extrahimos a raiz quadrada de 576 ( número 373), havemos de notar que, para formar o excedente do quadrado das dezenas, dobrámos as dezenas e lhes accrescentamos as unidades, isto é, reunimos 20 + 20 + 4 = 44, e depois multiplicamos esta somma pelas unidades, e obtivemos 44 X 4 = 176, tudo justamente como acabamos de fazer para achar a area das tres superficies excedentes ao quadrado das dezenas.

Modo geral de extrahir a raiz quadrada

380. O modo geral ou pratico de extrahir a raiz quadrada é o seguinte:

Problema. Qual é a raiz quadrada de 182329?

 

Solução. O numero 182329, como consta de tres classes, a sua raiz ha de ter tres algarismos, isto é, centenas, dezenas e unidades.

Começa-se sempre a extracção pela primeira classe da esquerda.

A raiz quadrada de 18 é 4, porque 5 dá 5 X 5 = 25. Escreve-se 4 como o primeiro algarismo da raiz, e subtrahe-se de 18 o quadrado de 4, que é 16, e o resto 2 com a classe seguinte fórma o novo dividendo. Dobra-se a raiz, que fica 4 + 4 = 8, e escreve-se ao lado do dividendo como um divisor auxiliar. (Chama-se divisor auxiliar, porque auxilia a achar o algarismo seguinte da raiz.)

Para se achar o algarismo das dezenas, divide-se o dividendo 223, sem o ultimo algarismo da direita, pelo divisor auxiliar 8, e o quociente, que é 22  dividido por 8 = 2, é o segundo algarismo da raiz. Nesta divisão despreza-se o resto. Escreve-se, portanto, 2 na raiz, escreve-se tambem 2 junto ao divisor auxiliar que fica 82 e divisor completo. Multiplica-se este divisor pelo numero 2 que se acabou de achar, e o producto 82 X 2 = 164 subtrahido do dividendo 223 deixa 59 de resto. Este resto com a classe seguinte, fórma o ultimo dividendo 5929.

Para se achar o ultimo algarismo da raiz, desce-se o divisor 82 com o segundo algarismo dobrado, para ser um novo divisor auxiliar, e então fica 84; divide-se o ultimo dividendo (sem o ultimo algarismo) pelo divisor auxiliar, e o quociente, que é 502 dividido por 84 = 7, é o ultimo algarismo da raiz. Escreve-se 7 na raiz; accrescenta-se 7 ao divisor auxiliar que fica então 847, e este divisor, multiplicado pelo ultimo algarismo da raiz, dá o producto 5929 que, subtrahido do dividendo, nada resta. Logo 182329 é um quadrado perfeito, e a sua raiz quadrada é 427.

Prova 427 X 427 = 182329.

Regra.

 I. Para se extrahir a raiz quadrada de um numero, divide-se esse numero em classes de dois algarismos cada uma, começando pelas unidade.

II. Acha-se o maior quadrado perfeito contido na ultima classe, e escreve-se a sua raiz ao lado direito, em fórma de divisor, e será este o primeiro algarismo da raiz do numero. Subtrahe-se o quadrado perfeito daquella classe, e o resto junto com a classe seguinte formará o novo dividendo.

III. Dobra-se a parte da raiz achada e escreve-se como um divisor auxiliar ao lado do dividendo; acha-se quantas vezes o divisor é contido no dividendo, excluindo deste o ultimo algarismo da direita, e esse numero junta-se ao primeiro algarismo da raiz e tambem ao dividor.

IV. Multiplica-se agora o divisor completo pelo numero achado, e o producto subtrahe-se do dividendo e o resto, junto com a classe seguinte formará o novo dividendo.

V. Desce-se o divisor com o algarismo da direita dobrado, e continúa-se o processo como acima, até todas as classes serem divididas.

Notas importantes.

1a. Quando um divisor auxiliar é maior do que o seu respectivo dividendo, escreve-se uma cifra na raiz, outra no divisor e desce-se outra classe para o dividendo, e depois prosegue-se a operação.

2a. Se houver resto, depois de se achar a raiz da ultima classe, o numero será um quadrado imperfeito e a sua raiz approximada será um numero fraccionario. Para se achar a fracção da raiz, juntam-se classes de cifras ao resto, e escreve-se a virgula decimal no fim da parte inteira da raiz, para mostrar que os algarismos que seguem são decimaes.

3a. Quando os dois termos de uma fracção ordinaria não são quadrados perfeitos, podemos achar a sua raiz approximada, reduzindo a fracção ordinaria a uma fração decimal e depois extrahe-se a sua raiz quadrada.

4a. As classes de uma fraccão decimal contam-se da esquerda para a direita: e se a ultima classe da direita fôr incompleta, completa-se com uma cifra.


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