EXTRAÇÃO DAS RAÍZES

374. Raiz de um numero é um dos factores iguaes que produziram esse numero.

As raizes, bem como as potencias, distinguem-se pelo seu grau como raiz quadrada ou segunda raiz, raiz cubica ou terceira raiz, quarta, raiz, quinta, raiz, etc.

Raiz quadrada de um numero é um dos dois factores iguaes desse numero; assim a raiz quadrada de 25 é 5, porque 25 = 5 X 5.

Raiz cubica de um numero é um dos tres factores iguaes desse numero; assim a raiz cubica de 64 é 4, porque 64 = 4 X 4 X 4.

A quarta raiz de um numero é um dos quatro factores iguaes desse numero; assim a quarta raiz de 81 é 3, porque 81 =

375. A figura

chama-se signal radical, e quando está escripto sobre um numero, mostra que esse numero deve ser tomado na raiz indicada pelo indice.

Indice é o numero escripto no angulo do signal radical, para mostrar o grau da raiz; assim

Nota. O signal

é uma corrupção da lettra r , inicial da palavra latina radix que significa raiz.

Na raiz quadrada escreve-se simplesmente o signal

, ficando subentendido o indice 2.

Vemos aqui que desde 1 até 100 ha só dez numeros inteiros que são quadrados perfeitos, isto é, productos de dois factores iguaes, e até 1000, ha só trinta e um; todos os outros numeros intermediarios não são quadrados. Daqui se originou a divisão dos numeros inteiros em quadrados perfeitos e quadrados imperfeitos.

Quadrado perfeito é o numero cuja raiz quadrada póde ser exactamente determinada; assim 64 é um quadrado perfeito, porque tem uma raiz exacta, que é 8.

Quadrado imperfeito é o numero cuja raiz quadrada não póde ser exactamente determinada; assim a raiz quadrada de 10 é 3, 1622 ... , isto é, um numero inteiro e uma fracção. Esta raiz, por mais approximada que seja, multiplicada por si, não produzirá exactamente o numero 10, e por isso tem o nome de raiz surda, para distinguil-a da raiz exacta dos quadrados perfeitos.

377. Pela simples inspecção de um numero qualquer, não podemos saber se elle é ou não quadrado perfeito, sem extrahir-mos a sua raiz quadrada; temos, porém, alguns dados ou theoremas que nos fazem conhecer de antemão que certos numeros não são quadrados. Esses theoremas são os seguintes:

1. Theorema. Todo numero terminado em 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito.

Demostração. O algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um producto de dois numeros iguaes, isto é, o producto da raiz quadrada multipicada por si mesma. Ora o producto de dois numeros iguaes acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os numeros terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o producto de dois numeros iguaes.

2. Theorema. Todo numero terminado por um numero impar de cifras não é quadrado perfeito.

Demostração. Sendo um quadrado sempre o produto de dois factores iguaes, quando um factor termina em uma, duas ou mais cifras, o quadrado terá o dobro dessas cifras, e por isso ellas estarão em um quadrado sempre em numero par; e assim podemos já saber de antemão que os numeros 1000, 400000 e 750 não são quadrados perfeitos.

3. Theorema. Todo numero par que não fôr divisivel por 4, não é quadrado perfeito.

Demostração. Todo o numero par é divisivel por 2, e se um numero par for multiplicado por si mesmo, será divisivel por 2, e por 2 X 2 = 4. Deste modo, já podemos saber que 322 e 1334 não são quadrados perfeitos.

4. Theorema. Todo numero terminado em 5, e que nas dezenas não tem o algarismo 2, não é quadrado perfeito.

Demostração. Um numero terminado em 5 só póde ter uma raiz terminada em 5, quando tem o algarismo 2 nas dezenas, porque o producto de dois numeros iguaes terminados em 5 finaliza sempre pelos algarismos 25.

378. Extrahir a raiz quadrada de um numero é achar o factor que, multiplicado por si, produz esse numero.

Se dividirmos um numero em classes de dois algarismos, começando pela direita, conheceremos logo quantos algarismos tem a sua raiz quadrada; assim o numero 55696 dividido em classes de dois algarismos, que são 5.56.95 mostra logo que a sua raiz quadrada tem tres algarismos, porque este numero consta de tres classes; o numero 8649, como consta de duas classes, que são 86.49, a sua raiz tem dois algarismos, etc. A ultima classe, que é a da esquerda, póde ter um ou dois algarismos; as outras classes devem ser sempre dois. Daqui podemos deduzir o seguinte principio:

Solução analytica. O numero 576, como consta de duas classes, já sabemos que a sua raiz quadrada tem dois algarismos, sendo um das dezenas e o outro das unidades. Precisamos portanto achar o algarismo das dezenas, e depois, o algarismo das unidades.

Algarismos das dezenas. Como já demonstramos na secção 373, o numero 576, sendo quadrado perfeito, deve conter primeiro o quadrado das dezenas, segundo duas vezes o producto das dezenas multiplicadas pelas unidades, terceiro o quadrado das unidades.

Formação synthetica de um quadrado

373. Um quadrado póde ser tambem considerado como um conjuncto ou somma de parcellas diversas que conservam entre si certa relação, e que podem ser de novo desagregadas por meio de uma decomposição analytica do quadrado.

As diversas partes ou elementos que constituem um quadrado e a relação que ha entre elles estão claramente indicadas no seguinte theorema:

O quadrado da somma de dois numeros é igual á somma do quadrado do primeiro numero, mais duas vezes o producto do primeiro multiplicado pelo segundo, e mais o quadrado do segundo.

Este theorema ficará perfeitamente claro com a seguinte ilustração:

Illustração. Se tomarmos o numero 15, e o dividirmos em dois numeros quaesquer, como, por exemplo, 8 + 7, e seguirmos depois o processo indicado pelo theorema acima exposto, teremos o seguinte resultado:

1a. Parcella. Quadrado do primeiro numero	8 X 8 = 64
2a. Parcella. Duas vezes o primeiro numero multiplicado pelo segundo	(8 X 7) + (8 X 7) = 112
3a. Parcella. Quadrado do segundo numero	(7 X 7) = 49

64 + 112 + 49 = 225

Quadrado de 15 15 X 15 = 225

Por uma simples inspecção, vemos que o quadrado de 15 é igual a somma das tres parcellas obtidas por meio dos numeros 8 e 7. Isto é, 15 ao quadrado = (8 X 8) + (8 X 7) + (8 X 7) + (7 X 7) ou 64 + 112 + 49 = 225. A expressão (8 X 7) + (8 X 7) pode ser simplificada ou reduzida a 2 (8 X 7) que exprime exactamente o mesmo valor, porque quer dizer duas vezes o producto de 8 multiplicado por 7, isto é, duas vezes 56 ou 2 X 56.

Se dermos ao numero 15 outra formação qualquer, o resultado será o mesmo; assim

152 = (9 + 6) ao quadrado = (9 X 9) + 2 (9 X 6) + (6 X 6) = 225

152 = (10 + 5) ao quadrado = (10 X 10) + 2( 10 X 5) + (5 X 5) = 225

152 =(11 + 4) ao quadrado = (11 X 11) + 2(11 X 4) + (4 X 4) = 225

Se, em lugar de 15, operarmos com outro numero qualquer, acharemos a mesma relação entre o quadrado desse numero e as duas parcellas que o formarem.

Por este processo synthetico agrupamos ou reunimos em uma somma todas as partes que formam um quadrado; e por um processo opposto, poderemos decompor ou separar novamente essas partes para, por meio dellas, achar a raiz do quadrado. Deste ultimo processo trataremos mais adiante.