EXTRAÇÃO DAS RAÍZES

(QUADRADA E CÚBICA)

 

 

 

 

 

 

 
Com a utilização das calculadoras e dos computadores,  nos dias atuais, principalmente na vida prática,  o calculo manual das extrações das raízes ficou relegado ao completo esquecimento. Todavia, há alguns anos atrás as coisas não eram assim; para que o aluno fosse considerado apto para galgar postos para as chamadas Aritméticas Elementares, e, Aritmética Progressiva, tinha que necessariamente conhecer os princípios das extrações da raízes. Como curiosidade, vejamos alguns trechos da obra do eminente professor Antonio Trajano, que em 1927 já estava na 64a. edição.

ARITHMETICA

PROGRESSIVA

Curso completo theorico e pratico de

ARITHMETICA SUPERIOR

Preparado para a mocidade Brazileira

PELO PROFESSOR

Antonio Trajano

Auctor da Arithmetica Primaria, da Arithmetica Elementar, da Arithmetica Progressiva, da Algebra Elementar, da nova Chave da Arithmetica Progressiva, e da Nova Chave da Algebra.

 

64. a EDIÇÃO

 

LIVRARIA FRANCISCO ALVES

Rua do Ouvidor, 166 - Rio de Janeiro

S.Paulo Bello Horizonte
129, Rua Libero Badaró Rua da Bahia, 1052

1927

 

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EXTRACÇÃO DAS RAIZES

374. Raiz de um numero é um dos factores iguaes que produziram esse numero.

As raizes, bem como as potencias, distinguem-se pelo seu grau como raiz quadrada ou segunda raiz, raiz cubica ou terceira raiz, quarta, raiz, quinta, raiz, etc.

Raiz quadrada de um numero é um dos dois factores iguaes desse numero; assim a raiz quadrada de 25 é 5, porque 25 = 5 X 5.

Raiz cubica de um numero é um dos tres factores iguaes desse numero; assim a raiz cubica de 64 é 4, porque 64 = 4 X 4 X 4.

A quarta raiz de um numero é um dos quatro factores iguaes desse numero; assim a quarta raiz de 81 é 3, porque 81 =

= 3 X 3 X 3 X 3

375. A figura chama-se signal radical, e quando está escripto sobre um numero, mostra que esse numero deve ser tomado na raiz indicada pelo indice.

Indice é o numero escripto no angulo do signal radical, para mostrar o grau da raiz; assim

lê-se: raiz quadrada de 16.

lê-se: raiz cubica de 216.

lê-se: raiz quarta raiz de 625.

lê-se: decima raiz de 1024.

Nota. O signal é uma corrupção da lettra r , inicial da palavra latina radix que significa raiz.

Na raiz quadrada escreve-se simplesmente o signal , ficando subentendido o indice 2.

Qualquer raiz de 1 é sempre 1, porque 1 X 1 X 1 = 1.

376. Os quadrados perfeitos desde 1 até 100 são os seguintes:

Quadrados perfeitos: 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Raizes quadradas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vemos aqui que desde 1 até 100 ha só dez numeros inteiros que são quadrados perfeitos, isto é, productos de dois factores iguaes, e até 1000, ha só trinta e um; todos os outros numeros intermediarios não são quadrados. Daqui se originou a divisão dos numeros inteiros em quadrados perfeitos e quadrados imperfeitos.

Quadrado perfeito é o numero cuja raiz quadrada póde ser exactamente determinada; assim 64 é um quadrado perfeito, porque tem uma raiz exacta, que é 8.

Quadrado imperfeito é o numero cuja raiz quadrada não póde ser exactamente determinada; assim a raiz quadrada de 10 é 3, 1622 ... , isto é, um numero inteiro e uma fracção. Esta raiz, por mais approximada que seja, multiplicada por si, não produzirá exactamente o numero 10, e por isso tem o nome de raiz surda, para distinguil-a da raiz exacta dos quadrados perfeitos.

377. Pela simples inspecção de um numero qualquer, não podemos saber se elle é ou não quadrado perfeito, sem extrahir-mos a sua raiz quadrada; temos, porém, alguns dados ou theoremas que nos fazem conhecer de antemão que certos numeros não são quadrados. Esses theoremas são os seguintes:

1. Theorema. Todo numero terminado em 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito.

Demostração. O algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um producto de dois numeros iguaes, isto é, o producto da raiz quadrada multipicada por si mesma. Ora o producto de dois numeros iguaes acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os numeros terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o producto de dois numeros iguaes.

 

2. Theorema. Todo numero terminado por um numero impar de cifras não é quadrado perfeito.

Demostração. Sendo um quadrado sempre o produto de dois factores iguaes, quando um factor termina em uma, duas ou mais cifras, o quadrado terá o dobro dessas cifras, e por isso ellas estarão em um quadrado sempre em numero par; e assim podemos já saber de antemão que os numeros 1000, 400000 e 750 não são quadrados perfeitos.

 

3. Theorema. Todo numero par que não fôr divisivel por 4, não é quadrado perfeito.

Demostração. Todo o numero par é divisivel por 2, e se um numero par for multiplicado por si mesmo, será divisivel por 2, e por 2 X 2 = 4. Deste modo, já podemos saber que 322 e 1334 não são quadrados perfeitos.

 

4. Theorema. Todo numero terminado em 5, e que nas dezenas não tem o algarismo 2, não é quadrado perfeito.

Demostração. Um numero terminado em 5 só póde ter uma raiz terminada em 5, quando tem o algarismo 2 nas dezenas, porque o producto de dois numeros iguaes terminados em 5 finaliza sempre pelos algarismos 25.

Extracção da raiz quadrada

378. Extrahir a raiz quadrada de um numero é achar o factor que, multiplicado por si, produz esse numero.

Se dividirmos um numero em classes de dois algarismos, começando pela direita, conheceremos logo quantos algarismos tem a sua raiz quadrada; assim o numero 55696 dividido em classes de dois algarismos, que são 5.56.95 mostra logo que a sua raiz quadrada tem tres algarismos, porque este numero consta de tres classes; o numero 8649, como consta de duas classes, que são 86.49, a sua raiz tem dois algarismos, etc. A ultima classe, que é a da esquerda, póde ter um ou dois algarismos; as outras classes devem ser sempre dois. Daqui podemos deduzir o seguinte principio:

Quantas classes tiver um numero, tantos algarismos terá a sua raiz quadrada.

Problema. Qual é a raiz quadrada de 576?

Solução analytica. O numero 576, como consta de duas classes, já sabemos que a sua raiz quadrada tem dois algarismos, sendo um das dezenas e o outro das unidades. Precisamos portanto achar o algarismo das dezenas, e depois, o algarismo das unidades.

Algarismos das dezenas. Como já demonstramos na secção 373, o numero 576, sendo quadrado perfeito, deve conter primeiro o quadrado das dezenas, segundo duas vezes o producto das dezenas multiplicadas pelas unidades, terceiro o quadrado das unidades.

Formação synthetica de um quadrado

373. Um quadrado póde ser tambem considerado como um conjuncto ou somma de parcellas diversas que conservam entre si certa relação, e que podem ser de novo desagregadas por meio de uma decomposição analytica do quadrado.

As diversas partes ou elementos que constituem um quadrado e a relação que ha entre elles estão claramente indicadas no seguinte theorema:

O quadrado da somma de dois numeros é igual á somma do quadrado do primeiro numero, mais duas vezes o producto do primeiro multiplicado pelo segundo, e mais o quadrado do segundo.

Este theorema ficará perfeitamente claro com a seguinte ilustração:

Illustração. Se tomarmos o numero 15, e o dividirmos em dois numeros quaesquer, como, por exemplo, 8 + 7, e seguirmos depois o processo indicado pelo theorema acima exposto, teremos o seguinte resultado:

1a. Parcella. Quadrado do primeiro numero 8 X 8 = 64
2a. Parcella. Duas vezes o primeiro numero multiplicado pelo segundo (8 X 7) + (8 X 7) = 112
3a. Parcella. Quadrado do segundo numero (7 X 7) = 49
64 + 112 + 49 = 225 Quadrado de 15   15  X 15 = 225

Por uma simples inspecção, vemos que o quadrado de 15 é igual a somma das tres parcellas obtidas por meio dos numeros 8 e 7. Isto é, 15 ao quadrado = (8 X 8) + (8 X 7) + (8 X 7) + (7 X 7) ou 64 + 112 + 49 = 225. A expressão (8 X 7) + (8 X 7) pode ser simplificada ou reduzida a 2 (8 X 7) que exprime exactamente o mesmo valor, porque quer dizer duas vezes o producto de 8 multiplicado por 7, isto é, duas vezes 56 ou 2 X 56.

Se dermos ao numero 15 outra formação qualquer, o resultado será o mesmo; assim

152 = (9 + 6) ao quadrado = (9 X 9) + 2 (9 X 6) + (6 X 6) = 225
152 = (10 + 5) ao quadrado = (10 X 10) + 2( 10 X 5) + (5 X 5) = 225
152 =(11 + 4) ao quadrado = (11 X 11) + 2(11 X 4) + (4 X 4) = 225

Se, em lugar de 15, operarmos com outro numero qualquer, acharemos a mesma relação entre o quadrado desse numero e as duas parcellas que o formarem.

Por este processo synthetico agrupamos ou reunimos em uma somma todas as partes que formam um quadrado; e por um processo opposto, poderemos decompor ou separar novamente essas partes para, por meio dellas, achar a raiz do quadrado. Deste ultimo processo trataremos mais adiante.

A classe da esquerda, que é 5, contém o quadrado das dezenas, porque dezenas multiplicadas por dezenas dão centenas. O quadrado perfeito mais approximado de 5 é 4, e a raiz de 4 é 2; 2 é o algarismo das dezenas da raiz. Ora o quadrado de 2 é 2 X 2 = 4, e subtrahindo 4 de 5, resta uma centena que com a classe seguinte fórma o resto 176.

Como já sahiu o quadrado das dezenas, este resto deve conter duas vezes o producto das

dezenas multiplicadas pelas unidades, mais o quadrado das unidades.

Algarismos das unidades. Desde que o producto das dezenas multiplicadas por um numero inteiro de unidades nunca póde ser inferior a 10, podemos separar do resto 176 o algarismo das unidades, que é 6, para operarmos sómente com as 17 dezenas completas.

Sendo as 17 dezenas duas vezes o producto das dezenas multiplicadas pelas unidades, segue-se que se dividirmos 17 por duas vezes as dezenas, isto é, por 2 + 2 = 4, obteremos o algarismo das unidades. Ora, 17 / 4 = 4, portanto 4 é o algarismo das unidades da raiz.

Resta agora verificar se o resto 176 contém 2 (20 X 4) = 160, mais 4 X 4 = 16. Ora 160 + 16 = 176, e do resto 176 subtrahindo 176, nada resta.

Fica, portanto, demonstrado que 576 é um quadrado perfeito, e que a sua raiz quadrada é 24.


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